Boolean aljabara. aljabara na dabaru. Abubuwa na ilmin lissafi dabaru

A duniya ta yau muna ƙara yin amfani da dama da inji kuma na'urori. Kuma ba kawai a lokacin da ya zama dole a yi amfani a zahiri fifiko ƙarfi: matsar da kaya zuwa ta da shi zuwa ga tsawo, tono tsawo da kuma zurfin wuriyar, da dai sauransu Cars yau tattara mutummutumi, abinci ne dafa shi Multivarki da kuma na farko ilmin lissafi lissafin nuna calculators ... More kuma mafi sau da yawa mun ji da kalmar "Boolean aljabara". Zai yiwu lokacin da ya zo fahimci rawar da 'yan adam a cikin halittar mutummutumi kuma inji ikon shirya ba kawai ilmin lissafi, amma kuma ma'ana matsaloli.

dabaru

A Girkanci dabaru - an umurce tsarin tunani cewa halitta da dangantaka tsakanin aka yanayi da kuma ba ka damar yin inferences dangane da zaton da kimomi. Popular sau da yawa, mun tambaye juna: "Shi ne ma'ana ga" The amsa ya tabbatar da mu da zaton ko sukar jirgin kasa na tunani. Amma da tsari ba a daina akwai: mu ci gaba da magana.

Wani lokaci da yawan yanayi (shigar) ne don haka mai girma, da kuma dangantaka tsakanin su ne don haka m da hadaddun cewa mutum kwakwalwa ba zai iya "nike" duk a lokaci daya. Zaka iya bukatar fiye da wata daya (mako, shekara) don fahimtar abin da ke faruwa. Amma zamani rayuwa ba ba mu da wadannan lokaci jinkiri zuwa yin yanke shawara. Kuma muka koma ga taimakon kwakwalwa. Kuma shi ne a nan cewa akwai wani aljabara da kuma dabaru, tare da dokoki da dukiyoyinsu. Bayan sauke duk na asali bayanai, muna da damar da kwamfuta don gane duk dangantaka, domin kawar da sabani da kuma samun wani m bayani.

LISSAFI da kuma dabaru

Famous Gotfrid Vilgelm Leybnits tsara manufar "ilmin lissafi dabaru", wanda ayyuka sun sauki fahimta ne kawai a kananan da'irar malamai. Na musamman sha'awa ne da shugabanci ba sa, kuma zuwa tsakiyar karni XIX na ilmin lissafi dabaru da aka sani da 'yan.

A babban amfani a cikin kimiyya al'umma ya sa a husũma a cikin abin da Banasare Dzhordzh Bul sanar da bane ya kafa wani reshe na lissafi, ba da ciwon babu albarkacin m amfani. Kamar yadda muka sani, daga tarihi, a wannan lokaci na rayayye tasowa masana'antu samar, za mu ci gaba da duk wani nau'i na karin inji, t. E. Duk binciken kimiyya sun yi wani m fuskantarwa.

Neman gaba, muka ce cewa a Boolean aljabara - mafi used a duniya a yau na ilmin lissafi. Sabõda haka, ka shaida Buhl rasa.

Dzhordzh Bul

The hali na marubucin ya cancanci kulawa ta musamman. Ko ba gaskiyar cewa a baya mutane girma kafin mu, har yanzu ya kamata a lura da cewa a cikin shekaru 16 da Yahaya. Buhl sanar a kauyen makaranta, kuma zuwa shekaru 20 ya bude nasa makaranta a Lincoln. Lissafi daidai ƙware biyar waje harsuna, da kuma a cikin kayayyakin lokaci, aka karanta ayyukan Newton kuma Lagrange. Kuma duk wannan - a kan talakawa ma'aikacin ta ɗãna!

A 1839, Buhl ya aiko da farko kimiyya takardunku a Cambridge Ilmin Lissafi Journal. Scientist juya 24 shekara. Boole ta aikin ne don haka sha'awar mambobi ne na Royal Society, a 1844 ya samu wata lambar yabo ga gudummawa ga ci gaban ilmin lissafi analysis. A 'yan buga takardun a cikin abin da abubuwa na ilmin lissafi dabaru, lissafi yarda matasa su dauki post na farfesa a College of Cork County da aka bayyana. Ka tuna cewa a sosai Boole ilimi ba.

ra'ayin

A ka'ida, Boolean aljabara ne mai sauqi qwarai. Akwai maganganu (ma'ana maganganu) cewa, daga cikin ra'ayi na lissafi, za a iya fassara shi a kalmomi biyu: "gaskiya" ko "ƙarya". Ga misali, da itatuwa a spring Bloom - gaskiya, a lokacin rani da shi snows - ƙarya. The kyau na lissafi ne da cewa shi ne, ba ya zama tilas don amfani kawai lambobi. Domin da aljabara farillai quite shige da wani kalamai da musamman ma'anar.

Saboda haka, aljabara na dabaru za a iya amfani da a zahiri a ko'ina: a cikin tanadi da kuma rubuce-rubuce wa'azi, bincike na mai saɓani bayanai game da abubuwan da suka faru da kuma tabbatar da dalilin da jerin ayyuka. Abu mafi muhimmanci - a gane cewa shi ba kome yadda muka ƙayyade da gaskiya ko falsity na kalamai. Daga wadannan "yadda" da kuma "sa" kana bukatar ka yi watsi. Abin da zance ne kawai wata sanarwa da gaskiya: gaskiya ne ƙarya.

Hakika, shirye-shirye cikin muhimman ayyukan da aljabara na dabaru da cewa, an rubuta su tare da dace da ãyõyinMu, kuma alamomin. Kuma koyi da su - yana nufin su koyi wani sabon waje harshe. Kome ba shi yiwuwa.

Basic Concepts da ma'anar

Ba tare da faruwa a cikin zurfin, mu magance terminology. Saboda haka, Boolean aljabara presupposes:

• kalamai.
• ma'ana ayyukan;
• ayyuka da kuma dokokin.

Jawabin - wani m magana da cewa za a iya fassara biyu-mai daraja. An rubuta su kamar yadda lambobin (5> 3) ko tsara saba kalmomi (giwa - mafi girma dabba bace). A wannan yanayin, da furcin nan "raƙumin dawa ta wuyansa ba" ila yau yana da hakkin ya wanzu, kawai Boolean aljabara ayyana shi a matsayin "ƙarya."

All kalamai ya zama unambiguous, amma sun iya zama asali ko fili. Recent amfani ma'ana cuta. E. A aljabara kalamai farillai fili kafa ta Bugu da kari na na farko dabaru ayyukan.

Boolean aljabara ayyukan

Mun riga tuna cewa aiki a cikin aljabara na shari'u - ma'ana. Kamar yadda aljabara na lambobin amfani da ilmin lissafi ayyukan don ƙara, ɗebewa, ko kwatanta lambobi, ilmin lissafi dabaru abubuwa da damar yin hadaddun kalamai, kuna ƙaryatãwa game da ko yin lissafi karshe sakamakon.

Dabaru ayyukan domin formalization da sauki bayyana ta da dabara, saba mana a cikin ilmin lissafi. Properties na Boolean aljabara lissafai sa shi yiwuwa a rikodi da kuma lissafi da ba a sani ba. Koma bayan tunanin ayyukan yawanci rubuce da gaskiya tebur. Its abubuwa ayyana ginshikan da sarrafa kwamfuta aiki wanda aka yi a kan su, da kuma layuka nuna sakamakon da lissafin.

Basic dabaru na mataki

The fi na kowa a cikin Boolean aljabara ayyukan ne negation (BA), da kuma ma'ana AND da OR. Saboda haka yana yiwuwa a bayyana kusan duk matakai a aljabara hukuntanka. Mun yi karatu a daki-daki, kowane daga cikin uku ayyukan.

A negation (ba) ne amfani da daya kawai rabi (operand). Saboda haka, aiki da aka kira wani unary negation. Don rikodin manufar "ba A" yin amfani da irin wannan alamomin: ¬A, wani ko A !. A tabular form shi kama da wannan:

The aiki na musu hali na irin wannan sanarwa: idan A gaskiya ne, to, A - shi ne ƙarya. Alal misali, da watã revolves a kusa da duniya - da gaskiya. Duniya revolves a kusa da watã - ƙarya.

Koma bayan tunanin multiplication da kuma Bugu da kari

Ma'ana da kuma aiki da aka kira wani tare da. Abin da ake nufi? Da fari dai, da cewa shi za a iya amfani da su biyu operands, watau, na - .. Binary aiki. Abu na biyu, shi ne kawai a yanayin saukan gaskiya na biyu operands (duka A da B) ne gaskiya, kuma da magana da kanta. A karin magana, "Patience da kuma kadan kokarin" ya nuna cewa biyu kawai dalilai iya taimaka wani mutum jimre da matsaloli.

Alamun ana amfani da rikodi: A∧B, A⋅B ko A && B.

Tare da shi ne kama da multiplication a ilmin lissafi. Wani lokacin kuma ce - ma'ana multiplication. Idan ka ninka da abubuwa na layuka na tebur, mun samu wani sakamakon kama da ma'ana tunani.

Disjunction mai ma'ana OR aiki. Yana gaskiya ne idan a kalla daya daga cikin maganganun shi ne gaskiya (ko dai A ko B). An rubuta kamar haka: A∨B, A + B ko A || B. gaskiya tebur domin wadannan ayyukan ne:

Disjunction kama ilmin lissafi Bugu da kari. ma'ana Bugu da kari aiki yana daya kawai hanin: 1 + 1 = 1. Amma mu tuna cewa a cikin wani digital format an iyakance shi zuwa ilmin lissafi dabaru 0 kuma 1 (inda 1 - gaskiya, 0 - ƙarya). Alal misali, cikin sanarwar "a cikin gidan kayan gargajiya ba za ka iya ganin wata fitacciyar ko samun mai kyau kamfanin" yana nufin abin da za ka iya gani ayyukan art, kuma yana yiwuwa ya gamu da wani ban sha'awa mutum. A daidai wannan lokaci, ba sarauta daga yiwuwar lokaci daya cikar biyu events.

Ayyuka da kuma dokokin

Saboda haka, da muka riga ya san abin da ma'ana aiki ta amfani da Boolean aljabara. Ayyuka bayyana duk kaddarorin da abubuwa na ilmin lissafi dabaru, da kuma ba da damar mu sau aa hadaddun fili kalamai. A mafi bayyanannu, kuma da sauki alama kin amincewa da dukiya na Kalam ayyukan. By Kalam ake gane XOR, abinda kuma daidaitawa. Kamar yadda muka karanta kawai tare da ainihin yadda ake gudanar, sa'an nan da dukiya ne ma kawai la'akari da su.

Associativity yana nufin cewa a cikin maganganun kamar "duka biyu A da B, da kuma B 'jerin listing na operands ba kome. Da dabara aka rubuta kamar haka:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Kamar yadda ka gani, wannan ba musamman ga tare da amma a disjunction.

Commutativity bayar da hujjar cewa sakamakon na tare da ko disjunction ba ya dogara ne a kan wanda abu da aka dauke a farkon talifin:

A∧B = B∧A. A∨B = B∨A.

Distributivity damar bayyana baka a hadaddun ma'ana maganganu. Dokokin masu kama da bude zance a cikin multiplication da kuma Bugu da kari a aljabara:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V. A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Unit dũkiyarsu da kuma karce, wanda zai iya zama daya daga cikin operands ne ma kama da algebraic multiplication da sifili ko daya, da kuma Bugu da kari na wani naúrar:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency ya gaya mana cewa idan mun gwada biyu daidai operands da sakamakon da aiki ne guda, za ka iya "jefa" da suka wuce haddi wahalad da tattaunawa operands. Kuma kalmar nuna dagantaka da disjunction ayyukan ne idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Saye kuma yale mu mu rage wuya da lissafi. Absorption ya furta cewa, a lokacin da magana ne amfani da daya operand, wani aiki da wannan kashi na sakamakon operand aka mamaye aiki.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

jerin ayyukan

Da jerin ayyukan ne na bayar da muhimmanci. A gaskiya, kamar yadda na aljabara, akwai wani fifiko aiki da cewa yana amfani da wani Boolean aljabara. Dabarbari za a iya Sauki kawai batun da muhimmanci na ayyukan. Ranking daga cikin mafi muhimmanci ga negligible, mun samu wadannan jerin:

1. Tauye.

2. tare da.

3. A disjunction, XOR.

4. Manufarta, daidaitawa.

Kamar yadda ka gani, kawai negation na tare da kuma ba su da daidaita fifiko. A fifiko na disjunction da XOR ne daidai, kazalika da manyan al'amurra na abinda kuma daidaitawa.

Ayyuka na abinda kuma daidaitawa

Kamar yadda muka ce, ban da ainihin ma'ana ayyukan, ilmin lissafi dabaru da ka'idar lissafi mai tsauri amfani Kalam. Shi ne mafi sau da yawa abinda kuma daidaitawa.

Manufarta ko ma'ana sakamako - wannan sanarwa, a cikin abin da daya mataki ne mai yanayin, da sauran - da sakamakon da aiwatar. A wasu kalmomin, wannan tsari tare da hujjar da "idan ... sa'an nan". "Bayan abincin dare zo da lissafi ba." E. Domin tuki da za a tsaurara a kan seleji tudu. Idan babu sha'awar motsa gangarowa daga dutsen, sa'an nan ku fizge seleji ba lallai ba ne. Aka rubuta haka: A → B ko A⇒B.

Daidaitawa yakan haifar da cewa net tasirin ne ke faruwa kawai a lokacin da biyu operands ne gaskiya. Alal misali, dare bada hanya zuwa rana sa'an nan (kuma kawai sai), a lokacin da rana ta fito a kan sararin sama. A harshen ilmin lissafi dabaru na wannan sanarwa da aka rubuta a matsayin A≡B, A⇔B, A == B.

Sauran dokoki na Boolean aljabara

Aljabara hukunci tasowa, da kuma da yawa sha'awar masana kimiyya ya kirkiro sabon dokokin. Cikin shahararrun suna dauke postulates Scottish lissafi O. De Morgan. Ya lura kuma ya ba maanar irin kaddarorin kamar yadda kusa negation, Bugu da kari kuma biyu korau.

Close musu da shawara cewa, kafin zance ne ba musun: ba (A ko B) = ba A ko B. BA

Lokacin da operand ne, sun ƙaryata, ko da kuwa da darajar, ya ce game Bugu da kari:

B∧¬B = 0. B∨¬B = 1.

Kuma a karshe, cikin biyu negation kanta Rama. watau kafin ko dai operand negation vuya ko ya zauna kawai daya.

Yadda za a warware gwaje-gwaje

Dabaru yakan haifar da simplification qaddara lissafai. Kamar dai a Karyar aljabara, shi wajibi ne don maximally sauƙaƙe farko yanayin (su rabu da mu rikitarwa shigar da ayyukan, da kuma tare da su), sa'an nan kuma fara neman daidai amsar.

Abin da ya yi ya rage wuya? Maida duk Kalam a cikin sauki aiki. Sa'an nan fallasa duk baka (ko mataimakin versa, don yin da baka don rage wannan kashi). A mataki na gaba ya zama ya yi amfani da Boolean aljabara Properties a yi (sha Properties sifili da daya, kuma t.).

Daga qarshe, da lissafi ya kamata kunshi wani m yawan unknowns, a hade tare da sauki ayyukan. A mafi sauki hanyar nemi wani bayani, idan ka yi manyan yawan kusa rashinta. Sa'an nan amsar za su tashi kamar yadda idan da kanta.